Faktoriál a kombinační čísla
V této části si připomeneme, co to je faktoriál a kombinační číslo, a ukážeme si, jak se s těmito čísly počítá.
Poté s využitím obou vyslovíme a dokážeme velmi užitečnou Binomickou větu.
Faktoriál
Než začneme řešit příklady, připomeňme si definici faktoriálu z části Permutace bez opakování.
Definice:
Pro každé přirozené číslo $n$ definujeme:
$n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$, kde $0! = 1$.
Číslo $n!$ čteme jako „$n$ faktoriál”.
Poznámka:
Všimněte si, že pro všechna přirozená čísla $n, k$, kde $k < n$ platí:
$$ n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1) = \dfrac{n!}{(n-k)!} $$
Příklad 1
Zjednodušte výrazy:
A) $\dfrac{(n+1)!}{n!} \qquad $ B) $\dfrac{n!}{(n+1)!} \qquad $ C) $\dfrac{(n-1)!}{n!} \qquad $ D) $\dfrac{n!}{(n-1)!}$
Řešení: (zobrazit text)
A) $\dfrac{(n+1)!}{n!}=\dfrac{(n+1) \cdot n!}{n!}=\dfrac{(n+1)}{1}=n+1 \qquad$
B) $\dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac{n!}{(n+1) \cdot n!}=\dfrac{1}{(n+1)}$
C) $\dfrac{(n-1)!}{n!}=\dfrac{(n-1)!}{n \cdot (n-1)!}=\dfrac{1}{n} \qquad \phantom{\dfrac{(n+1)}{1}=+1}$
D) $\dfrac{n!}{(n-1)!}=\dfrac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!}=\dfrac{n}{1}=n$
Příklad 2
Zjednodušte výraz:
$$\dfrac{(m+1)!}{m!} - \dfrac{(2m)!}{(2m+1)!} + \dfrac{(3m-1)!}{(3m-2)!}$$
Řešení: (zobrazit text)
$$\dfrac{(m+1)!}{m!} - \dfrac{(2m)!}{(2m+1)!} + \dfrac{(3m-1)!}{(3m-2)!} =
\dfrac{(m+1) \cdot m!}{m!} - \dfrac{(2m)!}{(2m+1)\cdot (2m)!} + \dfrac{(3m-1) \cdot (3m-2)!}{(3m-2)!}=$$
$$=(m+1) - \dfrac{1}{(2m+1)} + (3m-1)= \dfrac{8m^2 + 4m - 1}{(2m+1)}$$
Příklad 3
Zjednodušte výraz:
$$\dfrac{(z+1)!}{(z!)^2} + \dfrac{z!}{[(z-1)!]^2}$$
Řešení: (zobrazit text)
$$\dfrac{(z+1)!}{(z!)^2} + \dfrac{z!}{[(z-1)!]^2} = \dfrac{(z+1) \cdot z!}{z! \cdot z!} + \dfrac{z \cdot (z-1)!}{(z-1)! \cdot (z-1)!}= \dfrac{(z+1)}{z!} + \dfrac{z}{(z-1)!}=$$
$$= \dfrac{(z+1)}{z!} + \dfrac{z \cdot z}{(z-1)! \cdot z}= \dfrac{(z+1)}{z!} + \dfrac{z^2}{z!}= \dfrac{z^2+z+1}{z!} $$
Příklad 4
Zjednodušte výrazy:
A) $\dfrac{1}{n!} - \dfrac{3}{(n+1)!} - \dfrac{n^2-4}{(n+2)!} \qquad \qquad \quad $
B) $\dfrac{n^2-9}{(n+3)!} + \dfrac{6}{(n+2)!} - \dfrac{1}{(n+1)!} $
C) $\dfrac{(k+2)!}{k!} -2\dfrac{(k+1)!}{(k-1)!} + \dfrac{k!}{(k-2)!} \qquad $ D) $\dfrac{(k+2)!}{(k+1)!} - \dfrac{(k+1)!}{k!}$
Řešení: (zobrazit text)
A) $\dfrac{1}{n!} - \dfrac{3}{(n+1)!} - \dfrac{n^2-4}{(n+2)!} =
\dfrac{n+1}{(n+1) \cdot n!} - \dfrac{3}{(n+1)!} - \dfrac{(n-2) \cdot (n+2)}{(n+2) \cdot (n+1)!} =$
$=\dfrac{n+1}{(n+1)!} - \dfrac{3}{(n+1)!} - \dfrac{(n-2)}{(n+1)!} = \dfrac{(n+1)-3-(n-2)}{(n+1)!} = \dfrac{0}{(n+1)!} = 0 $
B) $\dfrac{1}{(n+2)!} $
C) $2$
D) $1$
Kombinační čísla
Opět si na úvod připomeňme definici kombinačního čísla z části Kombinace nez opakování.
Definice:
Pro vyjádření $K(k, n)$ užíváme i symbol $\dbinom{n}{k} $, nazývá se kombinační číslo a čte se "$n$ nad $k$".
Věta:
Pro všechna celá nezáporná čísla $n, k$, kde $k \leq n$, platí:
$$ \dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} $$
Symbol $\dbinom{n}{k}$ se nazývá kombinační číslo a čte se "$n$ nad $k$".
Příklad 1
A) Ověřte, zda platí rovnosti:
$ \qquad \qquad \dbinom{3}{2} = \dbinom{3}{1}$, $ \qquad \dbinom{12}{7} = \dbinom{12}{5}$, $ \qquad \dbinom{7}{7} = \dbinom{7}{1}$, $ \qquad \dbinom{41}{4} = \dbinom{41}{37}$
B) Dokažte, že pro všechna celá nezáporná čísla $n, k$, kde $k \leq n$ platí:
$$ \dbinom{n}{n-k} = \dbinom{n}{k} $$
Řešení: (zobrazit text)
A) $\dbinom{3}{2} = \dfrac{3!}{2!(3-2)!} = \dfrac{3!}{2!1!} = \dfrac{3}{1} = 3$, $\qquad \dbinom{3}{1}= \dfrac{3!}{1!(3-1)!} = \dfrac{3!}{1!2!} = \dfrac{3}{1} = 3 \qquad\Longrightarrow\qquad$ ANO
$ \phantom{A)} \dbinom{12}{7} = \dfrac{12!}{7!5!} $, $\qquad \dbinom{12}{5}= \dfrac{12!}{5!7!} \qquad\Longrightarrow\qquad$ ANO
$ \phantom{A)} \dbinom{7}{7} = \dfrac{7!}{7!0!} = \dfrac{7!}{7!} = 1 $, $\qquad \dbinom{7}{1}= \dfrac{7!}{1!6!} = \dfrac{7}{1} = 7 \qquad\Longrightarrow\qquad$ NE
$ \phantom{A)} \dbinom{41}{4} = \dfrac{41!}{4!37!} $, $\qquad \dbinom{41}{37}= \dfrac{41!}{37!4!} \qquad\Longrightarrow\qquad$ ANO
B) $ \dbinom{n}{n-k} = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot [n-(n-k)]!} = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!} = \dbinom{n}{k} $
Příklad 2
A) Vypočítejte:
$ \qquad \qquad \dbinom{5}{0}$, $ \qquad \dbinom{14}{14}$, $ \qquad \dbinom{38}{1}$
B) Dokažte, že pro všechna přirozená čísla $n$ platí:
$$ \text{a) } \dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1, \qquad \text{b) }\dbinom{n}{1} = n$$
Řešení: (zobrazit text)
A) $\dbinom{5}{0} = \dfrac{5!}{0!(5-0)!} = \dfrac{5!}{5!} = 1$
$ \phantom{I)} \dbinom{14}{14} = \dfrac{14!}{14!(14-14)!} = 1 $
$ \phantom{I)} \dbinom{38}{1} = \dfrac{38!}{1!(38-1)!} = \dfrac{38!}{37!} = \dfrac{38}{1} = 38 $
B) a) $\left.\begin{aligned}
\dbinom{n}{0} = \frac{n!}{0! \cdot (n-0)!} = \frac{n!}{n!} = 1 \\
\dbinom{n}{n} = \frac{n!}{(n-0)! \cdot 0!} = \frac{n!}{n!} = 1
\end{aligned}
\right\}
\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1$
II) b)$ \phantom{)} \dbinom{n}{1} = \dfrac{n!}{1! \cdot (n-1)!} = \dfrac{n!}{(n-1)!} = n $
Příklad 3
Dokažte, že platí:
$$ \dbinom{0}{0} = 1 $$
Řešení: (zobrazit text)
$ \dbinom{0}{0} = \dfrac{0!}{0! \cdot 0!} = 1 $
Příklad 4
A) Ověřte rovnosti:
$ \qquad \qquad \dbinom{7}{5} + \dbinom{7}{6}= \dbinom{8}{6}$, $ \qquad \dbinom{21}{2} + \dbinom{21}{3} = \dbinom{22}{3}$, $ \qquad \dbinom{5}{2} + \dbinom{5}{3} = \dbinom{6}{4}$
B) Dokažte, že pro všechna celá nezáporná čísla $n, k$, kde $k < n$ platí:
$$ \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1} $$
Řešení: (zobrazit text)
A) $\dbinom{7}{5} + \dbinom{7}{6} = \dfrac{7!}{5!2!} + \dfrac{7!}{6!1!} = \dfrac{7\cdot6}{2} + \dfrac{7}{1} = 21+7=28$, $\quad \dbinom{8}{6}= \dfrac{8!}{6!2!} = \dfrac{8\cdot7}{2} = 28 \quad\Rightarrow\quad$ ANO
$ \phantom{A)} \dbinom{21}{2} + \dbinom{21}{3} = \dfrac{21!}{2!19!} + \dfrac{21!}{3!18!} =210+1330=1540$, $\quad \dbinom{22}{3}= \dfrac{22!}{3!19!} =1540 \quad\Rightarrow\quad$ ANO
$ \phantom{A)} \dbinom{5}{2} + \dbinom{5}{3} = \dfrac{5!}{2!3!} + \dfrac{5!}{3!2!} =10+10=20$, $\quad \dbinom{6}{4}= \dfrac{6!}{4!2!} =15 \quad\Rightarrow\quad$ NE
B)$ \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} + \dfrac{n!}{(k+1)! \cdot [n-(k+1)]!} =$
$\phantom{B) \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} =} =\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k) \cdot [n-(k+1)]!} + \dfrac{n!}{(k+1) \cdot k! \cdot [n-(k+1)]!} =$
$\phantom{B) \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} =} =\dfrac{n!}{k! \cdot [n-(k+1)]!} \cdot \left( \dfrac{1}{n-k} + \dfrac{1}{k+1} \right) = $
$\phantom{B) \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} =} =\dfrac{n!}{k! \cdot [n-(k+1)]!} \cdot \dfrac{n+1}{(n-k) \cdot (k+1)} = \dfrac{(n+1)!}{(k+1)! \cdot (n-k)!} = \dbinom{n+1}{k+1}$
Příklad 5
Vyjádřete jediným kombinačním číslem součet:
$$\dbinom{7}{3} + \dbinom{7}{5}$$
Řešení: (zobrazit text)
Protože $\dbinom{7}{3} = \dbinom{7}{4}$, platí $\dbinom{7}{3} + \dbinom{7}{5} = \dbinom{7}{4} + \dbinom{7}{5} = \dbinom{8}{5}$
Příklad 6
Vyjádřete jediným kombinačním číslem součet:
$$\dbinom{3}{3} + \dbinom{4}{3} + \dbinom{5}{3} + \dbinom{6}{3}$$
Řešení: (zobrazit text)
Protože $\dbinom{3}{3} = \dbinom{4}{4}$, platí:
$\dbinom{3}{3} + \dbinom{4}{3} + \dbinom{5}{3} + \dbinom{6}{3} =
\left[ \dbinom{4}{4} + \dbinom{4}{3} \right] + \dbinom{5}{3} + \dbinom{6}{3} =
\left[ \dbinom{5}{4} + \dbinom{5}{3} \right] + \dbinom{6}{3} =$
$\phantom{\dbinom{3}{3} + \dbinom{4}{3} + \dbinom{5}{3} + \dbinom{6}{3} =} =\dbinom{6}{4} + \dbinom{6}{3} = \dbinom{7}{4}$
Pascalův trojúhelník
Vlastnosti kombinačních čísel ilustruje následující schéma, které se nazývá Pascalův trojúhelník:
$\dbinom{0}{0}$
$\dbinom{1}{0} \qquad \dbinom{1}{1}$
$\dbinom{2}{0} \qquad \dbinom{2}{1} \qquad \dbinom{2}{2}$
$\dbinom{3}{0} \qquad \dbinom{3}{1} \qquad \dbinom{3}{2} \qquad \dbinom{3}{3}$
$\dbinom{4}{0} \qquad \dbinom{4}{1} \qquad \dbinom{4}{2} \qquad \dbinom{4}{3} \qquad \dbinom{4}{4}$
$\dbinom{5}{0} \qquad \dbinom{5}{1} \qquad \dbinom{5}{2} \qquad \dbinom{5}{3} \qquad \dbinom{5}{4} \qquad \dbinom{5}{5}$
$\qquad \ldots \qquad \ldots \qquad \ldots \qquad$
$\phantom{ab}\dbinom{n}{0} \qquad \phantom{ab}\dbinom{n}{1} \qquad \phantom{ab}\dbinom{n}{2} \qquad \phantom{a}\ldots \qquad \dbinom{n}{n-2} \qquad \dbinom{n}{n-1} \qquad \dbinom{n}{n}$
Pokud si čísla ve schématu vyčíslíme, dostaneme Pascalův trojúhelník tvaru:
$1$
$1 \qquad 1$
$1 \qquad 2 \qquad 1$
$1 \qquad 3 \qquad 3 \qquad 1$
$1 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 4 \qquad 1$
$1 \qquad 5 \qquad 10 \qquad 10 \qquad 5 \qquad 1$
Všimněte si v trojúhelníku všech výše dokázaných vlastností:
$\dbinom{0}{0}, \dbinom{n}{0}, \dbinom{n}{n}, \dbinom{n}{1}$
$\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ - tato čísla jsou navzájem symetrická od středu každého řádku
$\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$ - součet dvou sousedních čísel je číslo nacházející se o řádek níž mezi nimi
Binomická věta
Jistě všichni víte, čemu se rovná
$$(a+b)^0 \qquad [=1 ]$$
$$(a+b)^1 \qquad [=a+b ]$$
$$(a+b)^2 \qquad [=a^2 + 2ab + b^2]$$
Někteří možná tušíte, čemu se rovná
$$(a+b)^3 \qquad [=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3]$$
Dokázali byste určit i na čtvrtou?
$$(a+b)^4 \qquad [=a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4]$$
A co $(a+b)^5$? S pomocí Binomické věty snadno určíte i tento rozklad. Všimněte si koeficientů u jednotlivých mnohočlenů.
| $1$ | $ \quad \longleftrightarrow \quad $ | $\dbinom{0}{0}$ |
| $1 \qquad 1$ | $ \quad \longleftrightarrow \quad $ | $\dbinom{1}{0} \qquad \dbinom{1}{1}$ |
| $1 \qquad 2 \qquad 1$ | $ \quad \longleftrightarrow \quad $ | $\dbinom{2}{0} \qquad \dbinom{2}{1} \qquad \dbinom{2}{2}$ |
| $1 \qquad 3 \qquad 3 \qquad 1$ | $ \quad \longleftrightarrow \quad $ | $\dbinom{3}{0} \qquad \dbinom{3}{1} \qquad \dbinom{3}{2} \qquad \dbinom{3}{3}$ |
| $1 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 4 \qquad 1$ | $ \quad \longleftrightarrow \quad $ | $\dbinom{4}{0} \qquad \dbinom{4}{1} \qquad \dbinom{4}{2} \qquad \dbinom{4}{3} \qquad \dbinom{4}{4}$ |
Jaké by tedy byly koeficienty u $(a+b)^5$?
| $1 \qquad 5 \qquad 10 \qquad 10 \qquad 5 \qquad 1$ |
$ \quad \longleftrightarrow \quad $ |
$ \dbinom{5}{0} \qquad \dbinom{5}{1} \qquad \dbinom{5}{2} \qquad \dbinom{5}{3} \qquad \dbinom{5}{4} \qquad \dbinom{5}{5}$ |
Koeficienty mnohočlenů hezky určíme z Pascalova trojúhelníku. Všimli jste si ještě, jak je to s exponenty?
U "a" postupně klesaly, u "b" se postupně zvyšovaly a přitom jejich součet je vždy roven exponentu u závorky (a+b).
Nyní už můžeme snadno určit celý rozvoj:
$$(a+b)^5 = \dbinom{5}{0}a^5b^0 + \dbinom{5}{1}a^4b^1 + \dbinom{5}{2}a^3b^2 + \dbinom{5}{3}a^2b^3 + \dbinom{5}{4}a^1b^4 + \dbinom{5}{5}a^0b^5 = $$
$$\phantom{(a+b)^5 }= 1a^5b^0 + 5a^4b^1 + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5a^1b^4 + 1a^0b^5 = $$
$$\phantom{(a+b)^5 }= a^5 + 5a^4b^1 + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5a^1b^4 + b^5 \phantom{1a^0+ 1b^0} $$
Binomická věta:
Pro všechna čísla $a, b$ a každé přirozené číslo $n$ platí:
$(a+b)^n =$
$\qquad =\dbinom{n}{0}a^n + \dbinom{n}{1}a^{n-1}b + \dbinom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k + \ldots + \dbinom{n}{n-1}ab^{n-1} + \dbinom{n}{n}b^n.$
Důkaz: (zobrazit text)
Nejprve si ukážeme důkaz pro $n = 3$.
Platí: $(a + b)^3 = (a + b)\cdot(a + b)\cdot(a + b)$.
Závorky postupně zleva roznásobíme:
$(a + b)\cdot(a + b)\cdot(a + b) = aaa + aab + aba + baa + abb + bab + bba + bbb$.
Jednotlivé sčítance tvoří uspořádaná trojice prvků $a$ a $b$.
Které sčítance můžeme sečíst? Ty, jenž mají stejný počet příslušných prvků (např. $aab + aba + baa$).
Počet takových sčítanců dokážeme spočítat pomocí permutací s opakováním.
Počet trojic se dvěma prvky $a$ a jedním prvkem $b$ je
$\dfrac{3!}{2!1!}=\dbinom{3}{1}$.
Počet trojic s jedním prvkem $a$ a dvěma prvky $b$ je
$\dfrac{3!}{1!2!}=\dbinom{3}{2}$.
Trojice obsahující jen prvky $a$ je jen jedna. Stejně tak trojice obsahující jen prvky $b$.
Platí tedy:
$$(a+b)^3 =a^3+\dbinom{3}{1}a^2b+\dbinom{3}{2}ab^2+b^3 =\dbinom{3}{0}a^3+\dbinom{3}{1}a^2b+\dbinom{3}{2}ab^2+\dbinom{3}{3}b^3 $$
Pro obecný případ můžeme psát $(a+b)^n=\underbrace{ (a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdot\cdots\cdot(a+b) }_{n}$.
Vynásobením těchto $n$ dvojčlenů dostaneme podobně jako v případu výše součet několika různých $n$-tic prvků $a$ a $b$.
$n$-tice složená jen z prvku $a$ je jen jedna.
Počet $n$-tic složených z $(n-1)$ prvků $a$ a jednoho prvku $b$ je $\dfrac{[(n-1)+1]!}{(n-1)!1!}=\dfrac{n!}{(n-1)!1!}=\dbinom{n}{1} $.
Počet $n$-tic složených z $(n-2)$ prvků $a$ a dvou prvků $b$ je $\dfrac{[(n-2)+2]!}{(n-2)!2!}=\dfrac{n!}{(n-2)!2!}=\dbinom{n}{2} $.
Obecně tedy počet $n$-tic složených z $(n-k)$ prvků $a$ a $k$ prvků $b$ je
$$\dfrac{[(n-k)+k]!}{(n-k)!k!}=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}=\dbinom{n}{k}.$$
Po sečtení dostáváme:
$(a+b)^n =$
$\qquad =a^n + \dbinom{n}{1}a^{n-1}b + \dbinom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k + \ldots + \dbinom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n =$
$\qquad =\dbinom{n}{0}a^n + \dbinom{n}{1}a^{n-1}b + \dbinom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k + \ldots + \dbinom{n}{n-1}ab^{n-1} + \dbinom{n}{n}b^n.$
Příklad 1
Vypočtěte podle binomické věty:
$$ (x+y)^7 $$
Řešení: (zobrazit text)
$$ (x+y)^7=\dbinom{7}{0}x^7y^0+\dbinom{7}{1}x^6y^1+\dbinom{7}{2}x^5y^2+\dbinom{7}{3}x^4y^3+\dbinom{7}{4}x^3y^4+\dbinom{7}{5}x^2y^5+$$
$$+\dbinom{7}{6}x^1y^6+\dbinom{7}{7}x^0y^7=x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7$$
Příklad 2
Vypočtěte podle binomické věty:
$$ (x^2+1)^4 $$
Řešení: (zobrazit text)
$$ (x^2+1)^4=\dbinom{4}{0}(x^2)^4 1^0+\dbinom{4}{1}(x^2)^3 1^1+\dbinom{4}{2}(x^2)^2 1^2+\dbinom{4}{3}(x^2)^1 1^3+\dbinom{4}{4}(x^2)^0 1^4=$$
$$ =x^8+4x^6+6x^4+4x^2+1$$
Příklad 3
Vypočtěte podle binomické věty:
$$ (x^2-1)^4 $$
Řešení: (zobrazit text)
$ (x^2-1)^4=$
$\qquad \qquad=\dbinom{4}{0}(x^2)^4 (-1)^0+\dbinom{4}{1}(x^2)^3(-1)^1+\dbinom{4}{2}(x^2)^2(-1)^2+\dbinom{4}{3}(x^2)^1(-1)^3+$
$\qquad \qquad \qquad +\dbinom{4}{4}(x^2)^0(-1)^4=$
$\qquad \qquad =x^8-4x^6+6x^4-4x^2+1$
Příklad 4
Vypočtěte podle binomické věty:
$$ (2c+\sqrt{3})^6 $$
Řešení: (zobrazit text)
$ (2c+\sqrt{3})^6=$
$\qquad \qquad =\dbinom{6}{0}(2c)^6 (\sqrt{3})^0+\dbinom{6}{1}(2c)^5 (\sqrt{3})^1 +\dbinom{6}{2}(2c)^4(\sqrt{3})^2+\dbinom{6}{3}(2c)^3(\sqrt{3})^3 +$
$\qquad \qquad \qquad +\dbinom{6}{4}(2c)^2(\sqrt{3})^4+\dbinom{6}{5}(2c)^1(\sqrt{3})^5+\dbinom{6}{6}(2c)^0(\sqrt{3})^6=$
$\qquad \qquad =64\cdot c^6+6\cdot32\cdot\sqrt{3}\cdot c^5+15\cdot16\cdot3\cdot c^4+20\cdot8\cdot(\sqrt{3})^3\cdot c^3+$
$\qquad \qquad \qquad +15\cdot4\cdot3^2\cdot c^2+6\cdot2\cdot(\sqrt{3})^5\cdot c+3^3=$
$\qquad \qquad =64\cdot c^6+192\cdot\sqrt{3}\cdot c^5+720\cdot c^4+160\cdot(\sqrt{3})^3\cdot c^3+540\cdot c^2+12\cdot(\sqrt{3})^5\cdot c+27$
Příklad 5
Vypočtěte bez kalkulačky užitím binomické věty:
$$ 2,01^4 $$
Řešení: (zobrazit text)
$ 2,01^4 = (2+10^{-2})^4 =$
$\qquad \qquad = \dbinom{4}{0}2^4 \cdot (10^{-2})^0 + \dbinom{4}{1}2^3 \cdot (10^{-2})^1 + \dbinom{4}{2} 2^2 \cdot (10^{-2})^2 + \dbinom{4}{3} 2^1 \cdot (10^{-2})^3+$
$\qquad \qquad \qquad +\dbinom{4}{4}2^0 \cdot (10^{-2})^4= $
$\qquad \qquad = 16+ 4\cdot 8 \cdot 0,01 + 6 \cdot 4 \cdot 0,0001+ 4\cdot 2 \cdot 0,000001+ 0,00000001= $
$\qquad \qquad = 16.32240801$
Poznámka: Příklad by se dal sice počítat i roznásobením $ 2,01 \cdot 2,01 \cdot 2,01 \cdot 2,01$, ale bylo by to mnohem pracnější a složitější. Můžete si vyzkoušet sami.
Příklad 6
Vypočtěte bez kalkulačky užitím binomické věty:
$$ 1,99^4 $$
Řešení: (zobrazit text)
$ 1,99^4 = (2-10^{-2})^4 =$
$\qquad \qquad = \dbinom{4}{0}2^4 \cdot (-10^{-2})^0+ \dbinom{4}{1}2^3 \cdot (-10^{-2})^1 + \dbinom{4}{2} 2^2 \cdot (-10^{-2})^2 + \dbinom{4}{3} 2^1 \cdot (-10^{-2})^3 +$
$\qquad \qquad \qquad +\dbinom{4}{4}2^0 \cdot (-10^{-2})^4= $
$\qquad \qquad =16 - 4\cdot 8 \cdot 0,01 + 6 \cdot 4 \cdot 0,0001 - 4\cdot 2 \cdot 0,000001 + 0,00000001 =$
$\qquad \qquad = 15.68239201$
Poznámka: Příklad by se dal taktéž dal počítat i roznásobením $ 1,99 \cdot 1,99 \cdot 1,99 \cdot 1,99$, ale bylo by to opět mnohem pracnější a složitější. Můžete si vyzkoušet sami.
