Permutace bez opakování

1. Zajímá nás pořadí 4 poslanců: _ _ _ _
   Na první místo můžeme vybrat jednoho ze 4, máme tedy 4 možnosti výběru:
   4 _ _ _
   Zbývají nám 3 poslanci. Na druhé místo máme tedy 3 možnosti výběru:
   4 3 _ _
   Po výběru poslanců na první a druhé místo nám zůstávají 2 poslanci. Na třetí místo máme proto 2 možnosti výběru:
   4 3 2 _
   A už nám zůstal jen jeden poslanec, který půjde jako poslední:
   4 3 2 1
   Výsledek: $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
2. Dupák má jít hned po Adámkovi. Tak je spojíme dohromady a vznikne nám jeden celek: Adámek + Dupák → AD.
   (Dupák jde vždy po Adámkovi, proto ho můžeme v možnostech sloučit s Adámkem. Jeho výstup je určen tím, kdy vybereme Adámka.)
   Hledáme tedy rozmístění pro 3 „poslance”, pro Beneše, Coufala a AD: → _ _ _
   Pro výběr prvního v pořadí máme na výběr ze 3 možností: 3 _ _
   Pro další vystoupení máme už jen 2 možností: 3 2 _
   A poslední možnost: 3 2 1
   Výsledek: $ 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
       Můžeme si ověřit, že opravdu v těchto šesti možnostech máme rozmístěné 4 poslance podle zadání:
      1) AD B C     2) AD C B
      3) B AD C     4) C AD B
      5) B C AD     6) C B AD
3. Uvědomme si, že pořadí, kdy je Beneš před Dupákem, a pořadí, kdy je Beneš po Dupákovi, je stejný počet. Proto hned můžeme vidět, že výsledek je tedy počet všech pořadí děleno dvěma: $ (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) / 2 = 24 / 2 = 12$.

1. $3$ muži $+ \ 2$ ženy $= 5 $lidí celkem.
   P   M   Ú   H   T ( = Předseda Místopředseda Účetní Hospodář Trenér)
   _    _   _   _   _    →    5   4   3   2   1
   Výsledek: $ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
   (Připomeňme si, proč se čísla násobí. Používáme totiž pravidlo součinu.)
2. Úlohu si rozdělíme na 2 různé situace:
   a) P-muž a M-žena:

   Na místo předsedy vybíráme jednoho ze tří mužů, na místo místopředsedy jednu ze dvou žen:
   $3 \ 2 $ _ _ _
   Zbývají $2$ muži $+ \ 1$ žena $= 3 $.
   $ 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36$.

   b) P-žena a M-muž:

   Na místo předsedy vybíráme jednu ze dvou žen, na místo místopředsedy jednoho ze tří mužů:
   $2 \ 3 $ _ _ _
   Zbývají $2$ muži $+ \ 1$ žena $= 3 $.
   $ 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36$.

   Výsledek: $ 36 + 36 = 72$.
   (Připomeňme si, proč čísla sčítáme. Používáme totiž pravidlo součtu.)

A) Pěticiferné číslo: _ _ _ _ _
Na první cifru můžeme umístit jednu ze čtyř číslic: 4 _ _ _ _
Na další cifru máme k dispozici pět číslic bez jedné, kterou jsme už vybrali: 4 4 _ _ _
A postupujeme dále, jak jsme zvyklí: 4 4 3 2 1
Celkově: $ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96$.

B) Na první cifru můžeme dát jen 2 číslice: 4 a 5. (Proč? Menší než 6000.)
Celkově: $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48$.

C) Pěticiferné číslo je dělitelné pěti právě tehdy, když končí 0 nebo 5. Každou situaci si vypočítáme zvlášť.

Číslo končící číslicí 0: na poslední cifru máme jen jednu možnost: _ _ _ _ 1 .
Rozmístíme ostatní číslice: $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 24$.

Číslo končící číslicí 5: na poslední cifru máme jen jednu možnost: _ _ _ _ 1 .
Rozmístíme ostatní číslice: $ 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 18$.

Celkem: $ 24 + 18 = 42$.

K návrhu zákona se mají postupně vyjádřit 4 poslanci: Adámek, Beneš, Coufal a Dupák. Určete počet všech možných pořadí jejich vystoupení.

Řešení:

Výsledek: $ P(4) = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Vedení sportovního klubu 1. FK Zborovice tvoří 3 muži a 2 ženy. Určete kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, účetního, hospodáře a trenéra?

Řešení:

$3$ muži $+ \ 2$ ženy $= 5$ lidí celkem.
Výsledek: $P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

A) $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \qquad [=P(6)] $.

B) $5 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $.

1. _ _ _ _ _     →     5 4 3 2 1     →     $ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. \qquad [=P(5)] $
2. A) Kuba sedí vlevo od Jirky:
       3 chlapci + KJ = 4     →     _ _ _ _     →     4 3 2 1     →     $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24. \qquad [=P(4)] $
   B) Kuba sedí vpravo od Jirky:
       3 chlapci + JK = 4     →     _ _ _ _     →     4 3 2 1     →     $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24. \qquad [=P(4)] $
   Celkový počet jejich různých rozsazení je: $ 24 + 24 = 48 $.
3. A) Nejprve spočítáme počet způsobů, kdy Honza sedí vlevo na kraji a Kuba hned vlevo vedle Jirky:
       H _ _ _     →     1 3 2 1     →     $ 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $,
   VVýsledek vynásobíme dvěma, neboť počet způsobů, kdy Kuba a Jirka sedí vedle sebe opačně, je stejný počet: $ 2 \cdot 6 = 12 $.
   B) Honza sedí vpravo na kraji a Kuba hned vlevo vedle Jirky:
       _ _ _ H     →     3 2 1 1     →     $ 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6 $,
   Výsledek opět vynásobíme dvěma, neboť počet způsobů, kdy Kuba a Jirka sedí vedle sebe opačně, je stejný počet: $ 2 \cdot 6 = 12 $.
   Celkový počet jejich různých rozsazení je: $ 12 + 12 = 24 $.

1. $ 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362880 \qquad [=P(9)] $
2. $ 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 28800 $
3. $ 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 2880 \qquad [=P(5) \cdot P(4)] $

$ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 = 48 $

$ 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 600 $

Nejprve určíme pořadí 3 skupin osob: Angličanů, Francouzů a Turků: $ 3 \cdot 2 \cdot 1 $.

A nakonec rozmístíme osoby v rámci skupiny $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 $, $ 2 \cdot 1 $, $ 3 \cdot 2 \cdot 1 $ .

Celkem: $ 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 1728. \qquad [=P(3) \cdot P(4) \cdot P(2) \cdot P(3)]$

$ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96$

A) Ciferný součet čísel je dělitelný 3, proto čísla dělitelná šesti jsou právě ta, která končí nulou nebo čtyřkou.
0 na konci: $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 24$
4 na konci: $ 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 18$
$ 24 + 18 = 42$

B) Větších než 74300 jsou pouze dvě čísla sestavená z těchto cifer, a to 74301 a 74310.

$ 2 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 1152 \qquad [=2 \cdot P(4)\cdot P(4)]$

Násobí se dvakrát, protože můžeme ještě prohodit celou větu hlavní s větou vedlejší.

Do řady lze rozestavit 6 dětí $ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 [=P(6)]$ způsoby. Očíslujeme-li místa v kruhu postupně 1, 2, 3, 4, 5, 6, pak každou řadu můžeme uvážit jako kruh. Vzhledem k tomu, že však nerozlišujeme kruhy lišící se jen pootočením, je hledaný počet $720/6 = 120$ (Pro každý kruh existuje 5 dalších kruhů lišících se pouze pootočením).

a) Pevně si určíme jedno místo u stolu, na něj usadíme muže a poté střídavě ostatní osoby:
M Ž M Ž M Ž M Ž M Ž

Počet všech takových rozsazení kolem stolu je:
$ 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 5! \cdot 5! \qquad [=P(5) \cdot P(5)]$

Ovšem na našem pevně určeném místě může sedět i žena (tedy muži a ženy si vymění pozice), proto celkový výsledek je:

$ 2 \cdot (5! \cdot 5!) = 28800 $.

b) Podobně jako v předchozím příkladu ještě výsledek z a) vydělíme počtem možných pootočení: $ 28800 / (5+5)=2880 $.

Mohlo by se zdát, že podle příkladu 9 je správná odpověď $120$. Protože však nerozlišíme dva náhrdelníky, z nichž jeden vznikl převrácením druhého, je hledaný počet $120/2 = 60$.