Kombinatorika – webová učebnice pro žáky středních škol
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Bc. Monika Stančíková

Permutace bez opakování

Permutace nebo též pořadí je název pro uspořádání prvků určité skupiny (např. seřazení 5 lidí do fronty). I nyní nás bude zajímat počet všech různých uspořádání, které můžeme s danými prvky učinit (např. kolika způsoby můžeme seřadit 5 lidí do fronty?).

Rozdíl oproti variacím je pouze ten, že uspořádáváme všechny prvky.

Opět tyto prvky mezi sebou rozlišujeme, jsou navzájem různé, neopakují se a opět záleží na jejich na pořadí.

Řešené příklady

Příklad 1 – Zákon

K návrhu zákona se mají postupně vyjádřit 4 poslanci: Adámek, Beneš, Coufal a Dupák. Určete počet:

všech možných pořadí jejich vystoupení;
všech možných pořadí jejich vystoupení, v nichž Dupák vystupuje hned po Adámkovi;
všech možných pořadí jejich vystoupení, v nichž Beneš vystupuje kdykoli po Dupákovi.

Řešení:(skrýt text)

Zajímá nás pořadí 4 poslanců: _ _ _ _
Na první místo můžeme vybrat jednoho ze 4, máme tedy 4 možnosti výběru:
4 _ _ _
Zbývají nám 3 poslanci. Na druhé místo máme tedy 3 možnosti výběru:
4 3 _ _
Po výběru poslanců na první a druhé místo nám zůstávají 2 poslanci. Na třetí místo máme proto 2 možnosti výběru:
4 3 2 _
A už nám zůstal jen jeden poslanec, který půjde jako poslední:
4 3 2 1
Výsledek: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ .
Dupák má jít hned po Adámkovi. Tak je spojíme dohromady a vznikne nám jeden celek: Adámek + Dupák → AD.
(Dupák jde vždy po Adámkovi, proto ho můžeme v možnostech sloučit s Adámkem. Jeho výstup je určen tím, kdy vybereme Adámka.)
Hledáme tedy rozmístění pro 3 „poslance”, pro Beneše, Coufala a AD: → _ _ _
Pro výběr prvního v pořadí máme na výběr ze 3 možností: 3 _ _
Pro další vystoupení máme už jen 2 možností: 3 2 _
A poslední možnost: 3 2 1
Výsledek: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ .
    Můžeme si ověřit, že opravdu v těchto šesti možnostech máme rozmístěné 4 poslance podle zadání:
   1) AD B C     2) AD C B
   3) B AD C     4) C AD B
   5) B C AD     6) C B AD
Uvědomme si, že pořadí, kdy je Beneš před Dupákem, a pořadí, kdy je Beneš po Dupákovi, je stejný počet. Proto hned můžeme vidět, že výsledek je tedy počet všech pořadí děleno dvěma: $(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) / 2 = 24 / 2 = 12$ .

Příklad 2 – Předseda, místopředseda…

Vedení sportovního klubu 1. FK Zborovice tvoří 3 muži a 2 ženy. Určete:

Kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, účetního, hospodáře a trenéra?
Kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře jak v případě 1. tak, aby ve funkci předsedy byl muž a ve funkci místopředsedy žena nebo obráceně?

Řešení:(skrýt text)

$3$ muži $+ \ 2$ ženy $= 5$ lidí celkem.
P M Ú H T ( = Předseda Místopředseda Účetní Hospodář Trenér)
_ _ _ _ _ → 5 4 3 2 1
Výsledek: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ .
(Připomeňme si, proč se čísla násobí. Používáme totiž pravidlo součinu.)
Úlohu si rozdělíme na 2 různé situace:
a) P-muž a M-žena:
Na místo předsedy vybíráme jednoho ze tří mužů, na místo místopředsedy jednu ze dvou žen:
$3 \ 2$ _ _ _
Zbývají $2$ muži $+ \ 1$ žena $= 3$ .
$3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36$ .

b) P-žena a M-muž:

Na místo předsedy vybíráme jednu ze dvou žen, na místo místopředsedy jednoho ze tří mužů:
$2 \ 3$ _ _ _
Zbývají $2$ muži $+ \ 1$ žena $= 3$ .
$2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36$ .

Výsledek: $36 + 36 = 72$ .
(Připomeňme si, proč čísla sčítáme. Používáme totiž pravidlo součtu.)

Příklad 3 – Čísla

A) Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se vyskytují číslice 0, 4, 5, 6, 7 a každá z nich právě jednou?

B) Kolik z nich je menších než 60 000?

C) Kolik z nich je dělitelných 5?

Řešení:(skrýt text)

A) Pěticiferné číslo: _ _ _ _ _
Na první cifru můžeme umístit jednu ze čtyř číslic: 4 _ _ _ _
Na další cifru máme k dispozici pět číslic bez jedné, kterou jsme už vybrali: 4 4 _ _ _
A postupujeme dále, jak jsme zvyklí: 4 4 3 2 1
Celkově: $4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96$ .

B) Na první cifru můžeme dát jen 2 číslice: 4 a 5. (Proč? Menší než 6000.)
Celkově: $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48$ .

C) Pěticiferné číslo je dělitelné pěti právě tehdy, když končí 0 nebo 5. Každou situaci si vypočítáme zvlášť.

Číslo končící číslicí 0: na poslední cifru máme jen jednu možnost: _ _ _ _ 1 .
Rozmístíme ostatní číslice: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 24$ .

Číslo končící číslicí 5: na poslední cifru máme jen jednu možnost: _ _ _ _ 1 .
Rozmístíme ostatní číslice: $3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 18$ .

Celkem: $24 + 18 = 42$ .

nahoru

Definice

Definice: Permutace $n$ prvků je uspořádaná $n$ -tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje právě jednou.

Jinak řečeno: Permutace $n$ prvků jsou právě $n$ -členné variace z těchto prvků.

Definice: Pro každé přirozené číslo $n$ definujeme:

$n! = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot 2 \cdot 1$ , kde

$0! = 1$ .

Číslo $n!$ čteme jako „ $n$ faktoriál”.

Z předchozích úvah vyplývá následující věta:

Věta: Počet $P(n)$ všech permutací z $n$ prvků je:

$P(n) = n!$ .

Podívejte se na počítání s faktoriály. Přechod na počítání s faktoriály

Pokud rozpoznáme, že se v úloze ptáme na počet jistých permutací, je možné přímo použít vzorec.

Vypočítáme si některé již řešené příklady s využitím vzorce.

Příklad 1 – Zákon – podle vzorce(zobrazit text)

K návrhu zákona se mají postupně vyjádřit 4 poslanci: Adámek, Beneš, Coufal a Dupák. Určete počet všech možných pořadí jejich vystoupení.

Řešení:

Výsledek: $P(4) = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ .

Příklad 2 – Předseda, místopředseda… – podle vzorce(zobrazit text)

Vedení sportovního klubu 1. FK Zborovice tvoří 3 muži a 2 ženy. Určete kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, účetního, hospodáře a trenéra?

Řešení:

$3$ muži $+ \ 2$ ženy $= 5$ lidí celkem.
Výsledek: $P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ .

Shrnutí počítaní podle vzorce:
Použití vzorce může urychlit řešení úlohy, vždy je však nezbytné do úlohy nejprve proniknout.

nahoru

Příklady k procvičení

Příklad 1

A) Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na úterý pro 8. třídu ZŠ Sýpky, v níž se vyučuje 6 předmětů. Každý předmět má právě jednu vyučovací hodinu denně a celkově se vyučuje 6 vyučovacích hodin denně.

B) Kolika způsoby lze sestavit takový rozvrh, který má jako třetí vyučovací předmět zeměpis? (Zeměpis je jeden ze šesti předmětů).

Řešení: (zobrazit text)

A) $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \qquad [=P(6)]$ .

B) $5 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ .

Příklad 2

Určete, kolika způsoby se v pětimístné lavici může posadit:

pět chlapců;
pět chlapců, jestliže Kuba a Jirka chtějí sedět vedle sebe;
pět chlapců, jestliže Kuba a Jirka chtějí sedět vedle sebe a Honza chce sedět na kraji.

Řešení: (zobrazit text)

_ _ _ _ _ → 5 4 3 2 1 → $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. \qquad [=P(5)]$
A) Kuba sedí vlevo od Jirky:
3 chlapci + KJ = 4 → _ _ _ _ → 4 3 2 1 → $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24. \qquad [=P(4)]$
B) Kuba sedí vpravo od Jirky:
3 chlapci + JK = 4 → _ _ _ _ → 4 3 2 1 → $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24. \qquad [=P(4)]$
Celkový počet jejich různých rozsazení je: $24 + 24 = 48$ .
A) Nejprve spočítáme počet způsobů, kdy Honza sedí vlevo na kraji a Kuba hned vlevo vedle Jirky:
H _ _ _ → 1 3 2 1 → $1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ ,
VVýsledek vynásobíme dvěma, neboť počet způsobů, kdy Kuba a Jirka sedí vedle sebe opačně, je stejný počet: $2 \cdot 6 = 12$ .
B) Honza sedí vpravo na kraji a Kuba hned vlevo vedle Jirky:
_ _ _ H → 3 2 1 1 → $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6$ ,
Výsledek opět vynásobíme dvěma, neboť počet způsobů, kdy Kuba a Jirka sedí vedle sebe opačně, je stejný počet: $2 \cdot 6 = 12$ .
Celkový počet jejich různých rozsazení je: $12 + 12 = 24$ .

Příklad 3

Žáci 3. třídy chtějí nacvičit divadlo na vánoční besídku. Paní učitelka musí 9 žákům (5 chlapců a 4 děvčata) rozdělit divadelní role:
Král, královna, princ, princezna, dvorní dáma, služebná, podkoní, kovář a rytíř.

Kolika způsoby může tyto role rozdělit?
Kolika způsoby může tyto role rozdělit tak, aby královna a princezna byly dívky a král a princ byli chlapci? Ostatní mohou být jakkoli.
Kolika způsoby může tyto role rozdělit tak, aby ženské role hrály dívky a mužské role chlapci?

Řešení: (zobrazit text)

$9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362880 \qquad [=P(9)]$
$5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 28800$
$5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 2880 \qquad [=P(5) \cdot P(4)]$

Příklad 4

Určete počet všech sudých pěticiferných přirozených čísel vytvořených z cifer 1, 2, 3, 4, 5, nemůže-li se v daném čísle žádná cifra opakovat.

Řešení: (zobrazit text)

$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 = 48$

Příklad 5

Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel vytvořených z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, v nichž se žádná cifra neopakuje.

Řešení: (zobrazit text)

$5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 600$

Příklad 6

Kolika způsoby lze postavit do řady 4 Angličany, 2 Francouze a 3 Turky, musí-li osoby téže národnosti stát vedle sebe?

Řešení: (zobrazit text)

Nejprve určíme pořadí 3 skupin osob: Angličanů, Francouzů a Turků: $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

A nakonec rozmístíme osoby v rámci skupiny $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ , $2 \cdot 1$ , $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

Celkem: $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 1728. \qquad [=P(3) \cdot P(4) \cdot P(2) \cdot P(3)]$

Příklad 7

Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7?
A) Kolik z těchto čísel je dělitelných šesti?
B) Kolik jich je větších než 74300?

Řešení: (zobrazit text)

$4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96$

A) Ciferný součet čísel je dělitelný 3, proto čísla dělitelná šesti jsou právě ta, která končí nulou nebo čtyřkou.
0 na konci: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 24$
4 na konci: $3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 18$
$24 + 18 = 42$

B) Větších než 74300 jsou pouze dvě čísla sestavená z těchto cifer, a to 74301 a 74310.

Příklad 8

Určete, kolikrát lze přemístit slova ve verši od Jána Kollára

„Sám svobody kdo hoden, svobodu zná vážiti každou” tak, aby se nepromíchala slova věty hlavní a vedlejší.

Řešení: (zobrazit text)

$2 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 1152 \qquad [=2 \cdot P(4)\cdot P(4)]$

Násobí se dvakrát, protože můžeme ještě prohodit celou větu hlavní s větou vedlejší.

Příklad 9

Kolika způsoby můžeme rozestavit 6 dětí do kruhu?

Řešení: (zobrazit text)

Do řady lze rozestavit 6 dětí $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 [=P(6)]$ způsoby. Očíslujeme-li místa v kruhu postupně 1, 2, 3, 4, 5, 6, pak každou řadu můžeme uvážit jako kruh. Vzhledem k tomu, že však nerozlišujeme kruhy lišící se jen pootočením, je hledaný počet $720/6 = 120$ (Pro každý kruh existuje 5 dalších kruhů lišících se pouze pootočením).

Příklad 10

Kolika způsoby můžeme posadit ke kulatému stolu 5 mužů a 5 žen tak, aby žádné dvě osoby téhož pohlaví neseděly vedle sebe, považujeme-li
a) jednotlivá místa u stolu za různá;
b) jednotlivá místa u stolu za stejná.

Řešení: (zobrazit text)

a) Pevně si určíme jedno místo u stolu, na něj usadíme muže a poté střídavě ostatní osoby:
M Ž M Ž M Ž M Ž M Ž

Počet všech takových rozsazení kolem stolu je:
$5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 5! \cdot 5! \qquad [=P(5) \cdot P(5)]$

Ovšem na našem pevně určeném místě může sedět i žena (tedy muži a ženy si vymění pozice), proto celkový výsledek je:

$2 \cdot (5! \cdot 5!) = 28800$ .

b) Podobně jako v předchozím příkladu ještě výsledek z a) vydělíme počtem možných pootočení: $28800 / (5+5)=2880$ .

Příklad 11

Kolik náhrdelníků lze utvořit ze 6 korálků různých barev?

Řešení: (zobrazit text)

Mohlo by se zdát, že podle příkladu 9 je správná odpověď $120$ . Protože však nerozlišíme dva náhrdelníky, z nichž jeden vznikl převrácením druhého, je hledaný počet $120/2 = 60$ .

Bc. Monika Stančíková |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Šablonu poskytlo:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2015

Nahoru