Základní kombinatorická pravidla

Tyto 2 množiny žáků (třídy) jsou konečné (počet žáků je konečný) a jsou disjunktní (žádný žák nemůže zároveň chodit do 1. A a do 1. B).

Celkově v 1. A a v 1. B je dohromady 15+18=33 žáků.

Ze 3 zvířat máme vybrat jedno pro Honzu a poté ze zbylých 2 zvířat jedno pro Zbyňka:

Přepis řešení:

Adam chce dát 1 zvíře Honzovi(H) a 1 zvíře Zbyňkovi(Z):

H Z → _ _

Pro Honzu vybírá 1 zvíře ze 3. Má tedy 3 různé možnosti, jak ho obdarovat:

3 _

Pro každou ze 3 možností výběru zvířete pro Honzu, má pro Zbyňka 2 možnosti, jak jej obdarovat:

3 2

Proto má celkem:

$3 \cdot 2 = 6$ možností, jak zvířata rozdělit mezi své přátele.

Počítáme počet možností, jak si Bára může vybrat 1 tričko(T) a k tomu 1 sukni(S):

T S → _ _

Bára má 3 různé možnosti, jak si vybrat tričko:

3 _

Potom, co si vybrala tričko, má 5 možností, jak si vybrat sukni:

3 5

Celkem má Bára $ 3 \cdot 5 = 15$ různých způsobů, jak se obléct.

Počet různých číslic je 10, jsou to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pro vytvoření trojciferného čísla, potřebujeme 3 číslice → _ _ _

Na první cifře nemůže být číslice 0, proto máme 9 různých číslic, které na ni můžeme umístit:

9 _ _

Na druhé cifře už může být i 0, proto máme 10 možných číslic. Ale nesmíme použít tu číslici, která je na první cifře (číslice se nesmí opakovat), možností je tedy 9:

9 9 _

Pro třetí cifru ze všech možných číslic odečítáme dvě, které jsme použili pro první a druhou cifru, dostáváme 8 různých číslic:

9 9 8

Celkem takových čísel je: $ 9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$.

Cesty si označíme:

1. Na trasu A máme 3 možné cesty, na trasu B 4 možné cesty, na trasu C opět 4 cesty a na trasu D opět 3 cesty:
   A B C D = 3 4 4 3
   Celkem: $3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 = 144$.


2. Na trasu A a B máme stejný počet možností jako v případě 1.:
   A B C D = 3 4 _ _ .
   Na trasu C už nemůžeme použít cestu, která byla vybrána pro trasu B. K výběru cesty máme tedy o jednu méně: 4 - 1 = 3.
   A B C D = 3 4 3 _ .
   Obdobně pro trasu D, jsou tam tři různé cesty, ale jednu z nich jsme už vybrali, tedy 3 - 1 = 2.
   Celkem: $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 72$.


3. Na trasu A a B máme stejný počet možností jako v případě 1.:
   A B C D = 3 4 _ _ .
   Trasa C má být jiná než B, tedy máme o jednu možnost méně:
   A B C D = 3 4 3 _ .
   Trasa D má být stejná jako trasa A, ale tu už máme vybranou, tedy máme jedinou možnost:
   A B C D = 3 4 3 1 .
   Celkem: $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36$.

Všechny čtverce rozdělíme do disjunktních skupin Č1, Č2, Č3 a Č4 tak, že
ve skupině Č1 jsou všechny čtverce o straně délky 1 cm,
ve skupině Č2 jsou všechny čtverce o straně délky 2 cm,
ve skupině Č3 jsou všechny čtverce o straně délky 3 cm
a ve skupině Č4 jsou všechny čtverce o straně délky 4 cm.

Ve skupině Č1 je 16 čtverců, v Č2 je 9 čtverců, v Č3 jsou 4 čtverce a v Č4 je 1 čtverec. Celkový počet čtverců v daném obrazci je roven $16 + 9 + 4 + 1 = 30$.

Na poličce je pět háčků:

1. 2. 3. 4. 5. → _ _ _ _ _

Na první háček můžeme vybrat jednu z 5 zlatých medailí, máme tedy 5 možností výběru:

5 _ _ _ _

Po výběru na první háček můžeme na druhý háček vybrat jednu ze 3 stříbrných medailí:

5 3 _ _ _

Po předešlém výběru můžeme na třetí háček vybrat jednu z 6 bronzových medailí:

5 3 6 _ _

Na čtvrtý háček po výběru prvních tří nám zbývá: 4 zlaté, 2 stříbrné a 5 bronzových medailí, vybíráme tedy libovolnou medaili z 11:

5 3 6 11 _

Na poslední háček po výběru prvních 4 nám zbývá 10 medailí:

5 3 6 11 10

Celkem má Katka možností: $5 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 11 \cdot 10 = 9900$.

Počet tahů koněm z daného pole na šachovnici závisí na poloze tohoto pole na šachovnici. Rozdělíme si tedy všechna pole šachovnice do 5 skupin: A, B, C, D, E (viz obrázek).

Z rohového pole A má kůň 2 možné tahy, z pole typu B tři tahy, z pole typu C čtyři tahy, z pole typu D šest tahů a z pole typu E osm možných tahů.

Celkový počet tahů koně na šachovnici 8x8 je:
$4 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 20 \cdot 4 + 16 \cdot 6 + 16 \cdot 8 = 336$.

Bílé pole lze vybrat 32 způsoby, černé rovněž. Celkový počet způsobů výběru je tedy v prvním případě roven $32 \cdot 32 = 1024$.

Vybereme-li v druhém případě jedno bílé pole (32 způsobů), lze černé vybrat už jen z řádků a sloupců, v nichž vybrané bílé pole neleží, tj. 24 způsobů. Počet výběrů je tedy $32 \cdot 24 = 738$.

Vybereme nejprve první kostku, to lze 28 způsoby, v 7 z nich bude v obou polích stejný počet ok (00, 11, 22, ..., 66), ve zbylých 21 případech bude počet ok v obou polích vybrané kostky různý.

Rozdělme tedy všechny uvažované dvojice kostek do dvou skupin podle toho, jakého z obou výše popsaných typů je první vybraná kostka.

V prvním případě lze druhou kostku vybrat 6 způsoby (např. ke kostce 00 přidáme některou z kostek 01, 02, ..., 06).

Ve druhém případě vybereme druhou kostku 12 způsoby (např. ke kostce 01 lze vybrat některou z kostek 00, 02, 03, ..., 06, 11, 12, ..., 16).

Podle pravidla součinu je v prvním případě počet výběrů $7 \cdot 6 = 42$, ve druhém $21 \cdot 12 = 252$ a podle pravidla součtu je celkový počet výběrů roven $42 + 252 = 294$.

Protože však na pořadí vybraných kostek nezáleží, je celkový počet výběrů poloviční, tedy $294 / 2 = 147$, (např. dvojice kostek 01 a 16 je započítána i jako 16 a 01).

Celkový počet tanečních párů je podle pravidla součinu roven $15 \cdot 10 = 150$.

Pokud si Petr vybere jablko, v košíku zůstane 11 jablek a 10 hrušek a počet možných výběrů pro Věru bude: $11 \cdot 10 = 110$. Pokud si Petr vybere hrušku, počet možných výběrů pro Věru bude: $12 \cdot 9 = 108$.

Aby Věra měla co největší možnost výběru, musí si Petr vzít jablko.

Počet různých dvojic je $14 \cdot 13 = 182$.

$182 / 33 \doteq 5,515$. Aby se všechny dvojice vystřídaly, museli by žáci chodit do školy přibližně 5 a půl roku.

Všechna čísla můžeme rozdělit do dvou disjunktních množin. První množina obsahuje čísla, která začínají cifrou 1 a nekončí cifrou 2. Druhá množina obsahuje čísla, která nezačínají cifrou 1 a končí cifrou 2. Celkový počet čísel ze zadání dostaneme podle pravidla součtu tak, že sečteme počty čísel v obou množinách.

Počet prvků v první množině: $1 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 9 = 900$.
První cifru známe, na každou z dalších cifer můžeme vybrat z 10 různých možností a při volbě poslední číslice nemůžeme použít cifru 2.

Počet prvků v druhé množině: $8 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1 = 800$.
Na první cifře nemohou být číslice 0 a 1, na každou z dalších cifer můžeme vybrat z 10 různých možností a poslední cifra je určená.

Celkový počet čísel odpovídajících zadání je $900 + 800 = 1700$.