Variace s opakováním

1. Doplňujeme barvy na tři části vlajky, vybíráme tedy 3 barvy z pěti a přitom barvy mohu použít vícekrát:

     1. 2. 3. →   _ _ _

   Na první místo máme 5 možností:

     $5$ _ _

   Na druhé místo máme opět 5 možností, barvy se mohou opakovat:

     $5$ $5$ _

   Na třetí místo máme opět 5 možností:

     $5$ $5$ $5$

   Výsledek: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $.

2. Situaci si rozdělíme na tři případy: Buď žlutý pruh bude vlevo nebo uprostřed nebo vpravo na vlajce:
   
   
   
   

     Ž _ _       _ Ž _       _ _ Ž

   Umístění žluté barvy tímto máme určené. Na toto místo máme pouze jednu možnost výběru barvy = žlutou:

     $ 1 $ _ _       _ $ 1 $ _       _ _ $ 1 $

   Na zbývající dvě místa máme k dispozici pět barev:

     $ 1 \ \ 5 \ \ 5 $     $\ 5 \ \ 1 \ \ 5 $     $\ 5 \ \ 5 \ \ 1 $

   Jednotlivé možnosti:
     $1 \cdot 5 \cdot 5 = 25$,
     $5 \cdot 1 \cdot 5 = 25$,
     $5 \cdot 5 \cdot 1 = 25$.

   Jelikož se jedná o 3 různé případy, z nichž k obarvení každého případu máme 25 možností, celkem budeme mít podle pravidla součtu: $25 + 25 + 25 = 75$ různých vlajek.

3. Žlutý pruh uprostřed a na zbývající pruhy máme k dispozici 5 barev:
         $5 \cdot 1 \cdot 5 = 25$.
4. Nemá červený pruh, počet barev na vlajku je tedy 4:
         $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
5. Dá se vypočítat dvěma způsoby:

   A) Můžeme od počtu všech vlajek odečíst ty, které mají prostřední barvu červenou.
      Tato čísla máme už vypočítané:
         Počet všech vlajek $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
         Počet vlajek s červenou uprostřed $5 \cdot 1 \cdot 5 = 25$.
       Vlajky bez prostředního pruhu červeného: $125 - 25 = 100$.

   B) Máme obarvit 3 pruhy na vlajce:
         _ $\ $ _ $\ $ _
       Začneme od prostředního pruhu. Na něj máme pouze 4 barvy, protože červenou nechceme:
         _ $\ \ 4 \ \ $ _
       Na zbývající dva pruhy můžeme použít 5 pět barev:
         $5 \ \ 4 \ \ $5
       Celkem:
         $5 \cdot 4 \cdot 5 = 100$.

Porovnejte s příkladem Variace bez opakování: Příklad 1 – Vlajky.

Vybíráme prvky na 7 různých míst:
      _ $\ $ _ $\ $ _ $\ $ _ $\ $ _ $\ $ _ $\ $ _
První tři místa tvoří písmena:
      $28 \ 28 \ 28 \ $ _ $\ $ _ $\ $ _ $\ $ _
Zbývající místa tvoří číslice 0, 1, 2, ..., 9, těch je 10:
      $28 \ 28 \ 28 \ 10 \ 10 \ 10 \ 10$
Celkem: $28 \cdot 28 \cdot 28 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 219 520 000$.

A) Situaci si rozdělíme na případy:

1. Výběr čtyřciferných čísel.
2. Výběr tříciferných čísel.
3. Výběr dvouciferných čísel.
4. Výběr jednociferných čísel.

1. Máme čtyři cifry: _ _ _ _
   Můžeme na ně umístit číslice: 1, 2, 3, 7, 8, 9. Celkem 6 číslic.
   $6$ $6$ $6$ $6$
   Celkově: $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1296$.
2. Pro tříciferná čísla obdobně: $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
3. Pro dvouciferná čísla: $6 \cdot 6 = 36$.
4. Jednociferná přirozená čísla: $6$.

Vypočítali jsme, kolik máme možností pro výběr 4 různých čísel (nejprve čtyřciferného čísla, poté tříciferného, dvouciferného a jednociferného), proto výsledek je podle pravidla součtu:
$1296 + 216 + 36 + 6 = 1554 $.

B) Postup řešení je stejný jako v A). Jediný rozdíl bude pro výpočet čtyřciferných čísel.
Na prvním místě mohou být pouze čísla: 1,2,3 - celkem 3 číslice. (Proč? Menší než 6000.)
$3 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 648$
Počet všech nejvýše čtyřciferných přirozených čísel menších než 6000 je:
$648 + 216 + 36 + 6 = 906 $.

C) Opět si situaci rozdělíme na případy:

1. Výběr čtyřciferných čísel.
2. Výběr tříciferných čísel.
3. Výběr dvouciferných čísel.
4. Výběr jednociferných čísel.

1. Na čtyři cifry: _ _ _ _
   můžeme umístit čtyři číslice z následujících 7 číslic: 0, 1, 2, 3, 7, 8, 9. Celkem 7 číslic, ale pozor na první cifru:
   $6$ $7$ $7$ $7$
   Celkově: $6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 2058$.
2. Pro tříciferná čísla obdobně: $6 \cdot 7 \cdot 7 = 294$.
3. Pro dvouciferná čísla: $6 \cdot 7 = 42$.
4. Jednociferná přirozená čísla: $6$.

Vypočítali jsme, kolik máme možností pro výběr 4 různých čísel (nejprve čtyřciferného čísla, poté tříciferného, dvouciferného a jednociferného), proto opět podle pravidla součtu je výsledek: $2058 + 294 + 42 + 6 = 2400 $.

Vlajka má být složena ze tří svislých pruhů, k dispozici máme 5 barev – bílou, červenou, hnědou, zelenou a žlutou. Každou barvu můžeme použít vícekrát.
(Ovšem jeden pruh může být obarven pouze jednou barvou.)

Určete počet vlajek, které lze z těchto barev sestavit.

Řešení:

Počet prvků, z nichž vybíráme: $n = 5$.
Kolika člennou variaci vybíráme: $k = 3$.
$V'(3,5) = 5^3 = 125$.

Bývalé české SPZ tvořily 3 písmena a 4 čísla, např. KME0782. Určete kolik různých SPZ dříve mohlo být?

Na SPZ se používalo 28 písmen a číslice 0, 1, 2, ..., 9.

Řešení:

SPZ si rozdělíme na dvě části, písmena a číslice:
Písmena: počet prvků, z nichž vybíráme: $n = 28$.
  Kolika člennou variaci vybíráme: $k = 3$.
  $V'(3,28) = 28^3 = 21952$.
Číslice: počet prvků, z nichž vybíráme: $n = 10$.
  Kolika člennou variaci vybíráme: $k = 4$.
  $V'(4,10) = 10^4 = 10000$.
Celkem: $28^3 \cdot 10^4 = 219 520 000$.

Počet jednoznakových prvků Morseovy abecedy: $2 \qquad [=V'(1,2)]$
Počet dvouznakových prvků Morseovy abecedy: $2 \cdot 2 = 4 \qquad [=V'(2,2)] $
Počet tříznakových prvků Morseovy abecedy: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \qquad [=V'(3,2)] $
Počet čtyřznakových prvků Morseovy abecedy: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \qquad [=V'(4,2)] $
Celkem: $2 + 4 + 8 + 16 = 30$.

S   S   S   L   L   V        S - sudé, L - liché, V - všechna čísla

$ 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 10 = 31250 $.

Máme k dispozici 5 číslic.
Aby číslo bylo dělitelné 4, musí poslední dvojčíslí být dělitelné 4. V tomto případě tedy poslední dvě cifry mohou být:
12, 24, 32, 44, 52 = 5 možností
Čtyřciferné číslo: _ _ _ _
Poslední dvě cifry mají dohromady 5 možností: _ _ (_ _) → _ _ 5
Doplníme počet možností na ostatní cifry: 5 5 5
Výsledek: $ 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Rozdělíme si příklad na situace šesticiferných čísel, pěticiferných, čtyřciferných, tříciferných, dvouciferných a jednociferných. A výsledky z jednotlivých situací podle pravidla součtu sečteme.
$ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 = 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 = 126$
$[=V'(6,2) + V'(5,2) + V'(4,2) + V'(3,2) + V'(2,2) + V'(1,2) ] $.

Všech možných variací iniciál je $32 \cdot 32 = 1024 [ = V'(2,32)]$, což je méně než počet obyvatel. Podle Dirichletova principu* musí v městečku existovat nejméně 2 lidé se stejnými iniciály.

*(Dirichletův princip je jedním ze základních principů používaných v kombinatorice. Jde o tvrzení: Umístíme-li $ m $ předmětů do $ n $ přihrádek, kde $ m > n $ a $ m, n$ jsou přiřozená čísla, pak bude existovat alespoň jedna přihrádka, ve které budou alespoň dva předměty.)

$9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 59049 \qquad [ = V'(5,9)]$

$3^k \qquad [ = V'(k,3)]$

Na první cifru nemůže zvolit číslici 0, další čtyři cifry volíme libovolně a poslední cifru pak doplníme tak, aby ciferný součet byl sudé číslo: $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5 = 450000 $

a) $6 \cdot 6 = 36 \qquad [ = V'(2,6)]$

b) $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216 \qquad [ = V'(3,6)] $

A) Posledních dvojčíslí sestavených z uvedených číslic dělitelných 4 je 9, proto: $6 \cdot 6 \cdot 9 = 324$.

B) Posledních dvojčíslí sestavených z uvedených číslic dělitelných 4 je 9, proto: $5 \cdot 6 \cdot 9 = 270$.

Bc. Monika Stančíková |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Šablonu poskytlo:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2015

Nahoru