Kombinatorika – webová učebnice pro žáky středních škol
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Bc. Monika Stančíková

Počítání s dalšími pojmy

---

Faktoriál

Definice:

Pro každé přirozené číslo $n$ definujeme:

$n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$,     kde   $0! = 1$.

Číslo $n!$ čteme jako "$n$ faktoriál".

---

Příklad 1

Dokažte, že pro všechna přirozená čísla $n, k$, kde $k < n$ platí: $$ n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1) = \dfrac{n!}{(n-k)!} $$

Řešení: (zobrazit text)

---

Příklad 2

Zjednodušte výrazy:

a) $\dfrac{(n+1)!}{n!} \qquad $ b) $\dfrac{n!}{(n+1)!} \qquad $ c) $\dfrac{(n-1)!}{n!} \qquad $ d) $\dfrac{n!}{(n-1)!}$

Řešení: (zobrazit text)

---

Příklad 3

Zjednodušte výraz: $$\dfrac{(n+1)!}{n!} - \dfrac{(2n)!}{(2n+1)!} + \dfrac{(3n-1)!}{(3n-2)!}$$

Řešení: (zobrazit text)

---

Příklad 4

Zjednodušte výraz: $$\dfrac{(n+1)!}{(n!)^2} + \dfrac{n!}{[(n-1)!]^2}$$

Řešení: (zobrazit text)

---

Příklad 5

Zjednodušte výrazy:

a) $\dfrac{1}{n!} - \dfrac{3}{(n+1)!} - \dfrac{n^2-4}{(n+2)!} \qquad \qquad \quad $b) $\dfrac{n^2-9}{(n+3)!} + \dfrac{6}{(n+2)!} - \dfrac{1}{(n+1)!} $

c) $\dfrac{(n+2)!}{n!} -2\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} + \dfrac{n!}{(n-2)!} \qquad $ d) $\dfrac{(n+2)!}{(n+1)!} - \dfrac{(n+1)!}{n!}$

Řešení: (zobrazit text)

---

Kombinační čísla

Definice:

Pro všechna celá nezáporná čísla $n, k$, kde $k \leq n$ definujeme: $$ \dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} $$

Symbol $\dbinom{n}{k}$ se nazývá kombinační číslo a čte se "$n$ nad $k$".

---

Příklad 1

Dokažte, že pro všechna celá nezáporná čísla $n, k$, kde $k \leq n$ platí: $$ \dbinom{n}{n-k} = \dbinom{n}{k} $$

Řešení: (zobrazit text)

---

Příklad 2

Dokažte, že pro všechna přirozená čísla $n$ platí: $$ \text{a) } \dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1, \qquad \text{b) }\dbinom{n}{1} = n$$

Řešení: (zobrazit text)

---

Příklad 3

Dokažte, že platí: $$ \dbinom{0}{0} = 1 $$

Řešení: (zobrazit text)

---

Příklad 4

Dokažte, že pro všechna celá nezáporná čísla $n, k$, kde $k < n$ platí: $$ \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1} $$

Řešení: (zobrazit text)

---

Příklad 5

Vyjádřete jediným kombinačním číslem součet:

$$\dbinom{7}{3} + \dbinom{7}{5}$$

Řešení: (zobrazit text)

---

Příklad 6

Vyjádřete jediným kombinačním číslem součet:

$$\dbinom{3}{3} + \dbinom{4}{3} + \dbinom{5}{3} + \dbinom{6}{3}$$

Řešení: (zobrazit text)

---

Pascalův trojúhelník

Vlastnosti kombinačních čísel ilustruje následující schéma, které se nazývá Pascalův trojúhelník:

$\dbinom{0}{0}$
$\dbinom{1}{0} \qquad \dbinom{1}{1}$
$\dbinom{2}{0} \qquad \dbinom{2}{1} \qquad \dbinom{2}{2}$
$\dbinom{3}{0} \qquad \dbinom{3}{1} \qquad \dbinom{3}{2} \qquad \dbinom{3}{3}$
$\dbinom{4}{0} \qquad \dbinom{4}{1} \qquad \dbinom{4}{2} \qquad \dbinom{4}{3} \qquad \dbinom{4}{4}$
$\dbinom{5}{0} \qquad \dbinom{5}{1} \qquad \dbinom{5}{2} \qquad \dbinom{5}{3} \qquad \dbinom{5}{4} \qquad \dbinom{5}{5}$

$\qquad \ldots \qquad \ldots \qquad \ldots \qquad$

$\phantom{ab}\dbinom{n}{0} \qquad \phantom{ab}\dbinom{n}{1} \qquad \phantom{ab}\dbinom{n}{2} \qquad \phantom{a}\ldots \qquad \dbinom{n}{n-2} \qquad \dbinom{n}{n-1} \qquad \dbinom{n}{n}$

Pokud si čísla ve schématu vyčíslíme, dostaneme Pascalův trojuhelník tvaru:

$1$
$1 \qquad 1$
$1 \qquad 2 \qquad 1$
$1 \qquad 3 \qquad 3 \qquad 1$
$1 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 4 \qquad 1$
$1 \qquad 5 \qquad 10 \qquad 10 \qquad 5 \qquad 1$

Všimněte si v trojúhelníku všech výše dokázaných vlastností:

$\dbinom{0}{0}, \dbinom{n}{0}, \dbinom{n}{n}, \dbinom{n}{1}$

$\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ - tato čísla jsou navzájem symetrická od středu každého řádku

$\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$ - součet dvou sousedních čísel je číslo nacházející se o řádek níž mezi nimi

---

Binomická věta