Permutace bez opakování

1. Pořadí 4 poslanců: 1. 2. 3. 4. → _ _ _ _
   Na první místo můžeme vybrat jednoho ze 4, máme tedy 4 možnosti výběru:
   4 _ _ _
   Zbývají nám 3 poslanci. Na druhé místo máme tedy 3 možnosti výběru:
   4 3 _ _
   Po výběru poslanců na první a druhé místo nám zůstávají 2 poslanci. Na třetí místo máme proto 2 možnosti výběru:
   4 3 2 _
   A už nám zůstal jen jeden poslanec, který půjde jako poslední:
   4 3 2 1
   Výsledek: $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
2. Dupák má jít hned po Adámkovi. Tak je spojíme dohromady a vznikne nám jeden celek: Adámek + Dupák → AD.
   (Dupák totiž jde vždy po Adámkovi, proto jej můžeme v možnostech sloučit s Adámkem. Jeho výstup je určen tím, kdy vybereme Adámka.)
   Hledáme tedy rozmístění pro 3 "poslance", pro Brázdu, Coufala a AD: → _ _ _
   Pro výběr prvního v pořadí máme na výběr ze 3 možností: 3 _ _
   Pro další vystoupení máme už jen 2 možností: 3 2 _
   A poslední možnost: 3 2 1
   Výsledek: $ 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
       Můžeme si ověřit, že opravdu v těchto šesti možnostech máme rozmístěné 4 poslance podle zadání:
      1) AD B C     2) AD C B
      3) B AD C     4) C AD B
      5) B C AD     6) C B AD
3. Uvědomme si, že ve všech pořadích mohou nastat dvě možnosti: buď je Beneš před Dupákem, nebo je až po něm.
   A těchto pořadí je stejný počet (ke každému pořadí, kdy je Beneš před Dupákem, existuje právě jedno pořadí, kdy jsou jejich místa přehozené, např. A B C D → A D C B).
   Hned můžeme vidět, že výsledek je tedy počet všech pořadí děleno dvěma: $ (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) / 2 = 24 / 2 = 12$.

1. $3$ muži $+ \ 2$ ženy $= 5 $lidí celkem.
   P   M   Ú   H   T ( = Předseda Místopředseda Účetní Hospodář Trenér )
   _    _   _   _   _    →    5   4   3   2   1
   Výsledek: $ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
2. Úlohu si rozdělíme na situace:
   a) P-muž a M-žena:

   Na místo předsedy vybíráme jednoho ze tří mužů, na místo místopředsedy jednu ze dvou žen:
   $3 \ 2 $ _ _ _
   Zbývají $2$ muži $+ \ 1$ žena $= 3 $.
   $ 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36$.

   b) P-žena a M-muž:

   Na místo předsedy vybíráme jednu ze dvou žen, na místo místopředsedy jednoho ze tří mužů:
   $2 \ 3 $ _ _ _
   Zbývají $2$ muži $+ \ 1$ žena $= 3 $.
   $ 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36$.

   Výsledek: $ 36 + 36 = 72$.

A) Pěticiferné číslo: _ _ _ _ _
Na první cifru můžeme umístit jednu ze čtyř číslic (nulu ne!): 4 _ _ _ _
Na další cifru máme k dispozici pět číslic bez jedné, kterou jsme už vybrali: 4 4 _ _ _
A postupujeme dále, jak jsme zvyklí: 4 4 3 2 1
Celkově: $ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96$.

B) Na první cifru můžeme dát číslice: 4 a 5 = 2 číslice. (Proč? Menší než 6000.)
Celkově: $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48$.

C) Pěticiferné číslo je dělitelné pěti právě tehdy, když končí 0 nebo 5. Každou situaci si vypočítáme zvlášť.

Číslo končící nulou: poslední cifru máme určenou a je na ni jen jedna možnost: _ _ _ _ 1 .
Rozmístíme ostatní číslice: $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 24$.

Číslo končící pětkou: poslední cifru máme určenou a je na ni jen jedna možnost: _ _ _ _ 1 .
Rozmístíme ostatní číslice: $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 24$.

Celkem: $ 24 + 24 = 48$.

K návrhu zákona se mají postupně vyjádřit 4 poslanci: Adámek, Beneš, Coufal a Dupák. Určete počet:

1. všech možných pořadí jejich vystoupení.

Řešení:

1. Výsledek: $ P(4) = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Vedení sportovního klubu 1.FK Zborovice tvoří 3 muži a 2 ženy. Určete:

1. Kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, účetního, hospodáře a trenéra?

Řešení:

1. $3$ muži $+ \ 2$ ženy $= 5$ lidí celkem.
Výsledek: $P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

A) $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 $.

B) $5 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $.

1. _ _ _ _ _     →     5 4 3 2 1     →     $ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $.
2. A) Kuba sedí vlevo od Jirky:
       3 chlapci + KJ = 4     →     _ _ _ _     →     4 3 2 1     →     $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $.
   B) Kuba sedí vpravo od Jirky:
       3 chlapci + JK = 4     →     _ _ _ _     →     4 3 2 1     →     $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $.
   Celkově: $ 24 + 24 = 48 $.
3. A) Honza sedí vlevo na kraji a KJ vedle sebe:
       H _ _ _     →     1 3 2 1     →     $ 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $,
   Výsledek vynásobíme dvěma kvůli případu, kdy Kuba a Jirka sedí vedle sebe opačně (počet s dvojicí JK je stejný počet jako s KJ): $ 2 \cdot 6 = 12 $.
   B) Honza sedí vpravo na kraji a KJ vedle sebe:
       _ _ _ H     →     3 2 1 1     →     $ 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6 $,
   Výsledek vynásobíme dvěma kvůli případu, kdy Kuba a Jirka sedí vedle sebe opačně: $ 2 \cdot 6 = 12 $.
   Celkově: $ 12 + 12 = 24 $.

1. $ 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362880 $.
2. $ 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 28800 $.
3. $ 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 2880 $.

$ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 = 48 $.

$ 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 600 $.

M Ž M Ž M Ž M Ž M Ž

$ 2 \cdot (5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1) = 28800 $.

(Násobí se 2-krát, protože můžeme ještě vyměnit pozice mužů a žen.)

Nejprve určíme pořadí 3 skupin osob: Angličanů, Francouzů a Turků: $ 3 \cdot 2 \cdot 1 $.

A nakonec rozmístíme osoby v rámci skupiny $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 $, $ 2 \cdot 1 $, $ 3 \cdot 2 \cdot 1 $ .

Celkem: $ 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 1728$.

$ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96$

A) Ciferný součet čísel je dělitelný 3, proto čísla dělitelná šesti jsou právě ta, která končí nulou nebo čtyřkou.
0 na konci: $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 24$,
4 na konci: $ 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 18$,
$ 24 + 18 = 42$

B) Větší než 74301 je pouze jedno číslo sestavené z těchto cifer, a to 74310.

$ 2 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 1152$

Násobí se dvakrát, protože můžeme ještě prohodit celou větu hlavní s větou vedlejší.

Do řady lze rozestavit 6 dětí $ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$ způsoby. Protože z každé řady utvoříme ekvivalentním způsobem kruh, je počet takto vzniklých kruhů rovněž $720$. Vzhledem k tomu, že však nerozlišujeme kruhy lišící se jen pootočením, je hledaný počet $720/6 = 120$.

Mohlo by se zdát, že podle příkladu 10 je správná odpověď $120$. Protože však nerozlišíme dva náhrdelníky, z nichž jeden vznikl převrácením druhého, je hledaný počet $120/2 = 60$.